Divisão de Polinômios

Valor Numérico

Seja um número complexo e p: C→ C um polinômio dado por

p(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 +... + a₁x + a₀.

O valor numérico de p em p(x) é o valor obtido quando substituímos x por  e efetuamos as operações indicadas, isto é: 



Observação: Quando p(a) = 0, dizemos que é raiz do polinômio p(x).

Polinômio Nulo

Vamos considerar um polinômio p que tenha todos os coeficientes iguais a zero. Quando isso ocorre, dizemos que p é um polinômio nulo, ou polinômio identicamente nulo. Indicamos assim: p(x) = 0. 

Exemplo:

Se o polinômio f(x)= ax² + (b - 1) x + c + 3 é um polinômio nulo, podemos determinar a, b e c impondo que todos os coeficientes de f(x) sejam iguais a zero:


Identidades

Dizemos que dois polinômios p₁(x) e p₂(x) são idênticos quando todos os coeficientes de p₁(x) e de p₂(x) são ordenadamente iguais. Indicamos assim: p₁(x) = p₂(x).

Exemplo:

Os polinômios f(x)= ax2 + bx + c - 1 e

g(x)= -4x² - 7x + 2 são idênticos quando a = -4, b = -7 e c – 1 = 2 c = 3.

Adição, subtração e multiplicação de polinômios,

As operações de adição, subtração e multiplicação de polinômios seguem os procedimentos de Álgebra estudados no Ensino Fundamental.

Divisão de Polinômios

Sejam dois polinômios, f(x) como dividendos e g(x) como divisor, com g(x)0 0. Dividir f(x) por g(x) é determinar outros dois polinômios: o quociente q(x) e o resto r(x), tais que:

1.°) f(x) = g(x) . q(x) + r(x)

2.°) grau r < grau g ou r(x) 0

Esquema de divisão:



Obs.: Quando r (x) = 0, dizemos que a divisão de f(x) por g(x) é exata, ou f(x) é divisível por g(x), ou ainda, g(x) divide f(x).

Divisão por binômios do tipo x – a

Vamos agora estudar um caso particular de divisão de polinomios, aquele em que o divisor é um binômio do 1.º grau do tipo x – a ou x + a, sendo a C. Estudaremos dois métodos para esse tipo de divisão.

O primeiro método é conhecido como teorema do resto. Para entendê-lo, e depois enunciá-lo,
vamos efetuar, pelo método da chave, a divisão de f(x) = x³ - 4x² + 5x - 2 por g(x) = x - 3: 




Notemos que:

1.° Como vimos, em qualquer divisão temos grau r < grau g.

Como grau g = 1, devemos ter grau r < 1, ou seja, grau r = 0. Logo, o resto é um número complexo independente de x.

2.° A raiz do divisor g(x) é: x – 3 = 0 →x = 3.

Calculando f(3), temos:

f(3) = 3³ - 4 . 3² + 5 . 3 - 2

f(3) = 27 - 36 + 15 - 2→ f(3) = 4

O valor encontrado para f(3) é igual ao resto obtido na divisão.

Assim, r = f(3)

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