7. Funções polinomiais idênticas

Definição

Considere os polinômios A e B de C em C, onde: 

Podemos afirmar que as funções A e B são iguais quando os respectivos valores numéricos de A e B forem iguais para qualquer x complexo.

Veja a representação:

A(x) ≡ B(x) ⇔ A(x) = B(x) ∀x ∈ C 

Teorema

Para que a função polinomial se torne realmente idêntica é indispensável que A e B e seus coeficientes sejam idênticos.

Veja a representação:

A(x) ≡ B(x) ⇔ a1 = b1 ∀i ∈ {0, 1, 2, …, n} 

Demonstração:

A(x) ≡ B(x) ⇔

⇔ A(x) = B(x), ∀x ∈ C ⇔

⇔ A(x) – B(x) = 0, ∀x ∈ C ⇔

⇔ (A – B)(x) = 0, ∀x ∈ C ⇔

⇔ (A – B)(x) ≡ 0 ⇔

⇔ (a0 – b0) . xn + (a1 – b1). xn-1 +

+ (a2 – b2) . xn-2 + … + (an – bn) ≡ 0 ⇔

⇔ a0 – b0 = a1 – b1 = a2 – b2 = … = an – bn = 0 ⇔

⇔ a0 = b0, a1 = b1, a2 = b2, …, an = bn ⇔

⇔ ai = bi, ∀i ∈ {0, 1, 2, …, n}