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31/05/2012 17:47

Conjunto das partes

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A teoria matemática que foi dedicada aos estudos da associação entre objetos que possuíam a mesma propriedade é chamada de teoria dos conjuntos. Ela foi organizada em 1872. A sua origem está relacionada aos trabalhos do pesquisador matemático russo Georg Cantor (1845-1918).

Esses estudos queriam encontrar a primeira e mais resumida definição sobre conjuntos. Anos depois foi informado que essa teoria também foi chamada de “teoria ingênua” ou “teoria intuitiva”.

Isso aconteceu pelo fato dela ter descoberto diversas outras antinomias (ou paradoxos) associadas à ideia central da teoria original.

As antinomias geraram uma axiomatização de futuras teorias matemáticas. Não é de se espantar que esse processo tenha gerado influências indeléveis à matemática e à lógica. Momentos depois, a teoria original foi complementada e aperfeiçoada por volta do século XX por diversos outros matemáticos.

Esse conhecimento prévio da teoria desenvolvida por Georg Cantor serviu de base para o desenvolvimento de vários outros temas da matemática: relações, funções, análise combinatória, probabilidade, entre outros.

Quais as descobertas de Georg Cantor?

Um conjunto unitário é formado de um único elemento;

Dois conjuntos serão iguais quando possuírem os mesmos elementos;

Conjuntos vazios não possuem qualquer elemento;

Existem conjuntos finitos ou infinitos. O finito reúne todos os seus elementos separando-os por vírgulas. Já o infinito tem uma propriedade que é satisfeita por todos os membros.

Parece bem autoexplicativo e intuitivo não é? Mesmo assim, essa forma de defini-los foi chamada de “listagem”.

Vejamos abaixo a representação de um conjunto sendo x um número qualquer do conjunto Z:

Z = {1,3,5,7,9,11, … }

Assim, a conclusão é de que

Z = { x | x é ímpar e positivo } = { 1,3,5, … }.

Outras relações básicas

É importante destacar que algumas outras relações mais básicas, que não dependem de um cálculo matemático mais complicado, também utilizam a lógica básica e pura. Veja os exemplos:

Pertinência: mostra se um elemento pertence ou não a um conjunto pré-estabelecido.

Se um número x pertence a u m conjunto, podemos escrever x ∈ A. Em caso negativo, registra-se x ∉ A.

Um conjunto vazio vai ser demonstrado a partir da letra grega φ (phi)

Subconjunto: se todos os elementos de A pertencerem também a B, sem que todos os elementos deste último sejam de B, poderemos dizer que “A é subconjunto de B” ou A ⊂ B

Fundamentais: conjuntos com elementos numéricos. É o caso dos naturais: N = {0,1,2,3,4,5,6…}; dos inteiros Z = {…, -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,… } (sendo que N ⊂ Z); racionais Q = { 2/3,  -3/7,   0,001,   0,75,   3,  etc.) (sendo que N ⊂ Z ⊂ Q); ou mesmo os irracionais.

União: acontece a união quando esse tipo de conjunto consegue contemplar todos os elementos de A ou B.

Exemplo: {0,1,3} ∪ { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}

Por meio de diversificadas combinações, que mantêm uma excelente ferramenta para o desenvolvimento da matemática de axiomas, percebemos que os conjuntos também possuem elementos dedutivos.

E o conceito do conjunto das partes? Do que se trata? Ele é um conjunto de subconjuntos. Veja a explicação abaixo!





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