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Funções Compostas e Inversas

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Função Composta

Observando as funções f : x →y | y = x + 1 e

g : y →z | z = y2, representadas por diagramas de setas, notamos que, em f, x leva a y e, em g, y leva a z:

Mas há uma função que permite “ir direto” de X para Z, sem passar por Y.

Assim, se z = g(y) e y = f(x), então z = g(f(x)) .

Como f(x) = x + 1 e g(y) = y2, temos:

z= g(f(x)) = g(x + 1) = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1.

ogo, g(f(x)) = x2 + 2x + 1 é a função que transforma os elementos de X nos elementos de Z.

Conclusão: A função g(f(x)), que estabelece uma correspondência direta entre X e Z, sem passar por Y, é a composta de f(x) e g(y).

Aplicação

Dados f(x) = 3x e g(x) = 3x+2, calcular g(f(x)) e fog

Solução:
1) g(f(x))

g(3x) = 3.(3x) + 2

g(3x) = 9x + 2

2) fog = f(g(x))

f(3x + 2) = 3. (3x + 2)

f(3x + 2) = 9x + 6

Função Inversa

Observe, no diagrama de setas abaixo, a função f : A →B | f(x) = x – 5, que transforma os elementos de A nos de B:

Conclusão: A condição necessária e suficiente para que uma função tenha inversa é que seja sobrejetora e injetora, ou seja, bijetora. No caso, temos que g é a função inversa de f.

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