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Posição relativa de duas retas

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Posição relativa de duas retas 

Introdução 

Aprendemos em Geometria Plana que duas retas r e s podem assumir as seguintes posições relativas: 

a) concorrentes (caso particular importante: perpendiculares)
b) paralelas (distintas)
c) coincidentes 

Relações entre os coeficientes 

Considere as retas r e s (não-verticais), cujas equações reduzidas são, respectivamente: 

(r) : y mr . x + hr (s) : ms . x + hs 

A seguir, temos as posições relativas das retas r e s: 

Retas concorrentes

Se 0° ≤ θr < 180° e 0° ≤ θs < 180°, temos:

r e s concorrentes ⇔ θr ≠ θs ⇔ tg θr ≠ tg θs ⇔
mr ≠ ms 

Conclusão: 

“Se duas retas são concorrentes, seus coeficientes angulares são diferentes, e vice-versa.” 

Retas perpendiculares (caso particular importante)

Se 0° ≤ θr < 180° e 0°≤ θs < 180°, temos:
r e s perpendiculares ⇔ θs = 90° + θ⇔ 
⇔ tg θs = tg (90° + θr) ⇔ tg θs = – cotg θr ⇔

Conclusão: 

“Se duas retas são perpendiculares, o coeficiente angular de uma é o oposto do inverso do coeficiente angular da outra, e vice-versa.” 

Retas paralelas (distintas)

Se 0° ≤ θr < 180° e 0°≤ θs < 180°, temos:

Conclusão: 

“Se duas retas são paralelas distintas, seus coeficientes angulares são iguais e seus coeficientes lineares são diferentes, e vice-versa.” 

Retas coincidentes

Se 0° ≤ θr < 180° e 0° ≤ θs < 180°, temos:

Conclusão: 

“Se duas retas são coincidentes, seus coeficientes angulares são iguais e seus coeficientes lineares são iguais, e vice-versa.”

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