2. Números inteiros

O conjunto Z 

O conjunto dos números inteiros é simbolizado pela letra maiúscula Z.
Os números inteiros são: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,… 

Estrutura de Z

Assim como em N, nos números inteiros Z também estão determinadas as duas operações: adição e multiplicação. E as propriedades de N são equivalentes para Z.
Observação: qualquer número inteiro possui um número oposto: 1 –>  – 1. 

Múltiplo e divisor em Z 

1) Considere a e b como dois números inteiros. Sabemos que b é divisor de a e que a é múltiplo de b apenas quando existe c inteiro onde a = b . c.

Portanto, sendo a, b e c números inteiros, temos: 

2) Sendo o conjunto dos múltiplos do número inteiro a representado por D(a), temos:

3) Sendo o conjunto de múltiplos do número inteiro a representado por M(a), temos:

Exemplos:

Propriedade de D(a)

Propriedades de M(a) 

Número par e número impar 

1) Um número inteiro a será par somente quando este for múltiplo de 2.

2) Um número inteiro a será ímpar somente quando este não for múltiplo de 2. 

3) No caso de , logo:

Número primo e numero composto

1) Um número inteiro p, sendo p ≠ 0, p ≠ 1 e p ≠ -1, será um número primo quando os números únicos divisores forem 1, -1, p e –p.

2) Um número inteiro a, sendo a ≠ 0, a ≠ 1 e a ≠ -1, será um número composto quando haver mais de 4 divisores.

Veja a representação: 

Teorema fundamental da aritmética 

Qualquer número composto pode sofrer uma decomposição e uma fatoração num produto de fatores primos. Com exceção da ordem dos fatores e do sinal dos fatores, essa decomposição será única.

Exemplo: 

Número de elementos da D(a)

Maximo divisor comum (mdc) 

Veja a representação:

Mínimo múltiplo comum (mmc)

Veja a representação:

Números primos entre si 

1) Os números inteiros a e b serão considerados de primos entre si apenas quando seus únicos divisores comuns forem 1 e -1.

Veja a representação: 

2) Dois números inteiros consecutivos são primos entre si pois mdc(n, n + 1) = 1.

3) Dois números primos, distintos e não-simétricos são primos entre si. 

4) Sendo , logo:

Critérios de divisibilidade 

Divisibilidade por 2

Um número é divisível por 2 se ele for par, ou seja, se terminar em 0, 2, 4, 6 ou 8.

Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos for divisível por 3.

Divisibilidade por 5

Um número é divisível por 5 se o algarismo das unidades for 0 ou 5.

Divisibilidade por 7 

Para saber se um determinado número é divisível por 7, deve-se seguir os seguintes passos:

Considerar o último algarismo do número e o dobro deste algarismo deve ser subtraído dos outros números. Se o número obtido for divisível por 7, sabemos que o número inicial também é divisível por 7.

Exemplo:

315

5 x 2 = 10

10 – 31 = 21

21 é divisível por 7, então 315 também é divisível por 7.

Divisibilidade por 11 

Um número é divisível por 11 se a soma dos algarismos de ordem par subtraída da soma dos algarismos de ordem ímpar for divisível por 11.

Exemplo:

Ordem par: 554829 –> 5 + 8 + 9 = 22 
Ordem ímpar: 554829 –> 5 + 4 + 2 = 11

22 – 11 = 11

11 é divisível por 11, então 554829 também é divisível por 11.